Υπολογιστικά Μαθηματικά

## 1. Ρίζες μη-γραμμικών εξισώσεων – **Διχοτόμηση (Bolzano)**: αργή σύγκλιση, απλή υλοποίηση – **Γραμμική παρεμβολή**: ταχύτερη σύγκλιση – **Muller**: προσέγγιση με παραβολή, εύρεση μιγαδικών ριζών – **Μέθοδος x = g(x)**: σταθερά σημεία, συνθήκες σύγκλισης |g′| < 1 – **Newton–Raphson**: τετραγωνική σύγκλιση (O(ε^2)), απαιτεί f′ – **Halley** (2ης τάξης Newton): κυβική σύγκλιση (O(ε^3)) – **Πολλαπλές ρίζες**: τροποποίηση λόγου f/f′ – **Συστήματα μη-γραμμικών εξισώσεων**: επέκταση Newton–Raphson σε N διαστάσεις ## 2. Γραμμικά συστήματα – **Gauss**: μετατροπή σε άνω τριγωνικό, pivoting – **Gauss–Jordan**: διαγωνιοποίηση, αντίστροφος πίνακας – **L–U ανάλυση**: παραγοντοποίηση A = L·U, επαναχρησιμοποίηση για πολλά b – **Jacobi**: επαναληπτική, συνθήκες σύγκλισης |a_ii| > Σ|a_ij| – **Gauss–Seidel**: χρήση νέων τιμών άμεσα, ταχύτερη σύγκλιση – **Ιδιοτιμές / ιδιοδιανύσματα**: μέθοδος δυνάμεων, Aitken επιτάχυνση, μετάθεση ## 3. Παρεμβολή & πρόβλεψη – **Lagrange**: πολυώνυμο συμπτωτικό, τύπος + σφάλμα – **Newton–Gregory**: προς εμπρός / πίσω, διαφορές ισαπέχοντα xi – **Hermite**: πολυώνυμο εφαπτόμενο, χρήση τιμών και παραγώγων – **Taylor**: ανάπτυγμα γύρω από σημείο, σφάλμα εναπομείναντος όρου ## 4. Αριθμητική παραγώγιση – **Συμπτωτικό πολυώνυμο**: παράγωγοι μέσω Newton / Lagrange – **Κεντρικές διαφορές**: υψηλότερης τάξης τύποι, σφάλμα O(h^2) ή O(h^4) – **Σφάλματα**: απόκοπης, στρογγυλοποίησης, μετάδοση ## 5. Αριθμητική ολοκλήρωση – **Newton–Cotes**: τραπέζιο, Simpson 1/3 & 3/8, σφάλματα O(h^4), O(h^5) – **Romberg επιτάχυνση**: εξαγωγή Richardson, βελτίωση τάξης – **Gauss–Legendre**: βέλτιστα σημεία & βάρη, πολυώνυμα Legendre – **Gauss–Laguerre, Gauss–Hermite, Gauss–Chebyshev**: ειδικά βάρη – **Filon**: ολοκληρώματα με τριγωνομετρικές συναρτήσεις – **Euler–Maclaurin**: διόρθωση μέσω παραγώγων άκρων ## 6. Διαφορικές εξισώσεις ### 6.1 Μεθοδοι ενός βήματος – **Taylor**: ανάπτυγμα υψηλής τάξης – **Euler / Euler–Heun**: σφάλμα O(h^2), O(h^3) – **Runge–Kutta 4ης τάξης**: σφάλμα O(h^5) – **Runge–Kutta–Fehlberg**: μεταβλητό βήμα, εκτίμηση σφάλματος – **Σταθερότητα**: κριτήριο |1 + h ∂f/∂y| < 1 ### 6.2 Μεθοδοι πολλών βημάτων – **Adams**: προβολή 4-βήματος, σφάλμα O(h^5) – **Milne**: πρόβλεψη + διόρθωση, σφάλμα O(h^5) – **Hamming, Adams–Moulton**: συνδυασμοί πρόβλεψης–διόρθωσης ### 6.3 Συστήματα διαφορικών εξισώσεων – Ανάγωγη ανώτερης τάξης → σύστημα 1ης τάξης – Εφαρμογή όλων των μεθόδων σε διανυσματική μορφή ## 7. Διαφορικες Εξισωσεις με Μερικες Παραγώγους – Εξίσωση Laplace – Εξισωση Διάχυσης – Εξισωση Κύματος