Περιγραφή Μαθήματος

Περιεχόμενο Μαθήματος

1. Ρίζες μη-γραμμικών εξισώσεων

  • Διχοτόμηση (Bolzano): αργή σύγκλιση, απλή υλοποίηση
  • Γραμμική παρεμβολή: ταχύτερη σύγκλιση
  • Muller: προσέγγιση με παραβολή, εύρεση μιγαδικών ριζών
  • Μέθοδος x = g(x): σταθερά σημεία, συνθήκες σύγκλισης |g′| < 1
  • Newton–Raphson: τετραγωνική σύγκλιση (O(ε²)), απαιτεί f′
  • Halley (2ης τάξης Newton): κυβική σύγκλιση (O(ε³))
  • Πολλαπλές ρίζες: τροποποίηση λόγου f/f′
  • Συστήματα μη-γραμμικών εξισώσεων: επέκταση Newton–Raphson σε N διαστάσεις

2. Γραμμικά συστήματα

  • Gauss: μετατροπή σε άνω τριγωνικό, pivoting
  • Gauss–Jordan: διαγωνιοποίηση, αντίστροφος πίνακας
  • L–U ανάλυση: παραγοντοποίηση A = L·U, επαναχρησιμοποίηση για πολλά b
  • Jacobi: επαναληπτική, συνθήκες σύγκλισης |aii| > Σ|aij|
  • Gauss–Seidel: χρήση νέων τιμών άμεσα, ταχύτερη σύγκλιση
  • Ιδιοτιμές / ιδιοδιανύσματα: μέθοδος δυνάμεων, Aitken επιτάχυνση, μετάθεση

3. Παρεμβολή & πρόβλεψη

  • Lagrange: πολυώνυμο συμπτωτικό, τύπος + σφάλμα
  • Newton–Gregory: προς εμπρός / πίσω, διαφορές ισαπέχοντα xi
  • Hermite: πολυώνυμο εφαπτόμενο, χρήση τιμών και παραγώγων
  • Taylor: ανάπτυγμα γύρω από σημείο, σφάλμα εναπομείναντος όρου

4. Αριθμητική παραγώγιση

  • Συμπτωτικό πολυώνυμο: παράγωγοι μέσω Newton / Lagrange
  • Κεντρικές διαφορές: υψηλότερης τάξης τύποι, σφάλμα O(h2) ή O(h4)
  • Σφάλματα: απόκοπης, στρογγυλοποίησης, μετάδοση

5. Αριθμητική ολοκλήρωση

  • Newton–Cotes: τραπέζιο, Simpson 1/3 & 3/8, σφάλματα O(h4), O(h5)
  • Romberg επιτάχυνση: εξαγωγή Richardson, βελτίωση τάξης
  • Gauss–Legendre: βέλτιστα σημεία & βάρη, πολυώνυμα Legendre
  • Gauss–Laguerre, Gauss–Hermite, Gauss–Chebyshev: ειδικά βάρη
  • Filon: ολοκληρώματα με τριγωνομετρικές συναρτήσεις
  • Euler–Maclaurin: διόρθωση μέσω παραγώγων άκρων

6. Διαφορικές εξισώσεις

6.1 Μέθοδοι ενός βήματος

  • Taylor: ανάπτυγμα υψηλής τάξης
  • Euler / Euler–Heun: σφάλμα O(h2), O(h3)
  • Runge–Kutta 4ης τάξης: σφάλμα O(h5)
  • Runge–Kutta–Fehlberg: μεταβλητό βήμα, εκτίμηση σφάλματος
  • Σταθερότητα: κριτήριο |1 + h ∂f/∂y| < 1

6.2 Μέθοδοι πολλών βημάτων

  • Adams: προβολή 4-βήματος, σφάλμα O(h5)
  • Milne: πρόβλεψη + διόρθωση, σφάλμα O(h5)
  • Hamming, Adams–Moulton: συνδυασμοί πρόβλεψης–διόρθωσης

6.3 Συστήματα διαφορικών εξισώσεων

  • Ανάγωγη ανώτερης τάξης → σύστημα 1ης τάξης
  • Εφαρμογή όλων των μεθόδων σε διανυσματική μορφή

7. Διαφορικές εξισώσεις με Μερικές Παραγώγους

  • Εξίσωση Laplace
  • Εξίσωση Διάχυσης
  • Εξίσωση Κύματος

 

https://courses.auth.gr/#/studyPrograms/1744?year=2025&specializationCourse=7A7E75DE-CE12-49F6-BA70-8916BEFD8984&courseClass=0BFACE74-06F3-47F2-8B60-67B72AA339EC&view=courseOutline

Στοιχεία Μαθήματος

Κωδικός μαθήματος:  ΥΦΥ101

Μάθημα:  Μαθήματα Κορμού

Εξάμηνο:  Πρώτο Εξάμηνο

Ώρες / εβδομάδα:   3

Πιστ. Μονάδες (ECTS):  7,5

Διδάσκοντες:  Κ. Κοσμίδης