ΜΕΘΟΔΟΙ MONTE CARLO ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

Περιεχόμενο Μαθήματος

Το μάθημα εστιάζει στη θεωρία πιθανοτήτων, στις στοχαστικές διεργασίες και στις μεθόδους υπολογιστικής προσομοίωσης, με έμφαση στην πρακτική εφαρμογή Monte Carlo τεχνικών και την ανάλυση πολύπλοκων συστημάτων. — ### 1. Εισαγωγή στις Πιθανότητες – Βασικές έννοιες: πείραμα, δειγματικός χώρος, γεγονότα – Κανόνες πιθανότητας, συνθήκη & ανεξαρτησία – Πιθανοκανονικές κατανομές, αρχές σύγκλισης ### 2. Τυχαίες Μεταβλητές & Κατανομές – Διακριτές κατανομές: Bernoulli, Binomial, Geometric, Poisson – Συνεχείς κατανομές: Uniform, Exponential, Normal, Gamma, Beta – Συναρτήσεις πυκνότητας & κατανομής – Στατιστικές ποσότητες: αναμενόμενη τιμή, διακύμανση, συνδιακύμανση, συσχέτιση ### 3. Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές – Κοινές, περιθωριακές & υπό συνθήκη κατανομές – Μετασχηματισμοί & ανεξαρτησία – Πολυδιάστατη κανονική κατανομή ### 4. Θεωρία Σύγκλισης & Ασύμπτωτης Συμπεριφοράς – Νόμοι μεγάλων αριθμών (LLN) – Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (CLT) – Συγκλίνουσες ακολουθίες & εκτιμητές ### 5. Στοχαστικές Διεργασίες – Ορισμοί: διακριτός και συνεχής χρόνος, μετρησιμότητα – Στάσιμες διεργασίες & ανεξάρτητες προσαυξήσεις – Poisson process, Wiener process (Brownian motion) – Martingales & ιδιότητα Markov ### 6. Αλυσίδες Markov – Διακριτοί χώροι καταστάσεων – Μητρώες μετάβασης & πιθανότητες n-βημάτων – Κατανομές ισορροπίας & ταξινόμηση καταστάσεων – Μέσος χρόνος επανεπίσκεψης & απορρόφηση – Αλυσίδες συνεχούς χρόνου (Markov jump processes) ### 7. Monte Carlo Μέθοδοι – Γεννήτριες ψευδοτυχαίων αριθμών (LCG, Mersenne Twister) – Μέθοδοι δειγματοληψίας: αντίστροφη συνάρτηση, accept–reject, Metropolis–Hastings – Τεχνικές βελτίωσης: importance sampling, control variates – Ανάλυση σφαλμάτων & μείωση διακύμανσης ### 8. Προσομοιώσεις Συστημάτων – Discrete-Event Simulation (DES) – Continuous-time Monte Carlo (Gillespie, τυχαίοι χρόνοι) – Rare-event simulation & splitting methods – Παράλληλες & GPU-επιταχυνόμενες προσομοιώσεις ### 9. Στατιστικές Εφαρμογές & Αξιολόγηση Μοντέλων – Εκτίμηση παραμέτρων: μέγιστη πιθανοφάνεια (MLE) & Bayesian προσέγγιση – Επαναδειγματοληψία: bootstrap & jackknife – Έλεγχοι προσαρμογής: χ², Kolmogorov–Smirnov – Cross-validation, υπερπροσαρμογή & μοντελοποίηση ### 10. Προχωρημένα Θέματα – Markov Chain Monte Carlo (MCMC): Gibbs sampling, Hamiltonian dynamics – Κρυφά Μοντέλα Markov (HMM) – Στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις (Euler–Maruyama) – Προσομοιώσεις βασισμένες σε πράκτορες (agent-based) & στοχαστικά δίκτυα